CARA MEMAHAMI TURUNAN FUNGSI (LEBIH DARI 1 VARIABEL BEBAS) MATEMATIKA

Hallo sahabat pembaca semua.

Selamat datang di blog saya.

Artikel blog saya kali ini akan membahasa tentang Turunan Fungsi (lebih dari 1 variabel bebas). Turunan Fungsi (lebih dari 1 variabel bebas) dibagi menjadi tiga jenis, Misalnya :
1. Partial Derivatives
2. Differentials Total
3. Derivatives Total
untuk memudahkan kalian saya juga akan memberikan contoh soal serta gambar kurva dari masing-masing jenis turunan fungsi (lebih dari 1 variabel bebas).

Turunan Fungsi (lebih dari 1 variabel bebas) ditulis :

Y = F(X)

Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit.
Jika fungsidua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka penulisannya secara umum dinyatakan dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk implisit, maka penulisannya dinyatakan dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

Contoh :

Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua fungsi dalam bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.

Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z, sehingga pada sumbu tersebut membentuk ruang dan masing-masing ruang disebut oktan.
Oktan I adalah ruang dengan x>0, y>, dan z>0
Oktan II adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z>0
Oktan III adalah ruang denganx<0, y<0, dan z>0
Oktan IV adalah ruang dengan x<0, y>0, dan z>0
Oktan V adalah ruang dengan x>0, y>, dan z<0
Oktan VI adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z<0
Oktan VII adalah ruang denganx<0, y<0, dan z<0
Oktan VIII adalah ruang dengan x<0,y>0, dan z<0
Berdasarkan oktan-oktan tersebut, dapat digambarkan sebarang titik  P(x₁,y₁,z₁) atau kurva ruang dengan persamaan z =F(x,y).


perhatikan gambar berikut.

Pada gambar1 di atas P(x₁,y₁,z₁) adalah sebarang titik pada oktan I, dengan menggunakan kaidah dan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang OP sebagai 

 

   

Dengan cara yang sama, jika P(x₁,y₁,z₁) dan Q(x₂,y₂,z₂) maka panjang PQ dinyatakan dengan PQ = 

1. Turunan Parsial Fungsi Dua atau Lebih

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:
1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah.
3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus. 
 
Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Definisi 
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

 

 











Contoh :

Tentukan turunan parsial pertama dari 

 

  

Jawab 

2. Differensial Total
Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turunan parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan

dari (1) dan (2) diperoleh :

Jumlah diferensialnya diperoleh: 

Bentuk di atas disebut diferensial total.
Dengan demikian jika z = F(x,y), maka diferencial totalnya adalah

Analog
Jika W = F(x,y,z) maka turunan parsialnya adalah 

Contoh.

1. Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah

Jawab
Langkah pertama yang harus ditetapkan fungsinya, dalam hal

Pilih x = 2, y = 2 dan z = 1 sehingga

dengan menggunakan definisi diferensial total W = F(x,y,z) maka

Akhirnya diperoleh

 

c) Suatu tempat berbentuk kotak dengan dimensi 2,02 m, 1,97 m, dan 0,99 m. Dengan menggunakan differensial tentukan panjang diagonal ruang kotak tersebut.

 3. Derivatives Total

Misal z = F(x,y) dan F dapat diturunkan (differensiable), dan misalkan x = x(t) dan y = y(t), x dan y juga fungsi-fungsi yang dapat diturunkan dengan satu peubah, Maka z = F(x,y) adalah fungsi satu peubah, sehingga:

 karena x =x(t) dan y=y(t) dapat diturunkan maka dapat ditentukan  

Sehinggga  

Bentuk di atas dinamakan turunan total z = F(x,y) dengan x = x(t) dan y = y(t).
 

Catatan

Pengertian ganda z, x, dan y pada

 

Andaikan z = F(x,y) adalah fungsi yang dapat diturunkan, dan misalkan x = x(r,s) dan y = y(r,s) adalah fungsi dua peubah dan dapat diturunkan, maka diferencial totalnya adalah

Karena x = x(r,s) dan y = y(r,s) dan dapat diturunkan, maka dapat ditentukan

Sehingga turunan total z = F(x,y) dengan x = x(r,s), dan y = y(r,s) adalah

Contoh

Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan jari-jarinya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.

Jawab.

Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka

  






Dengan definisi turunan total
I = I(r,h) dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh 

baiklah sabahat semua seperti yang kalian ketahuan pembahasan tentang Derivatives Total adalah pembahasan kita yang terakhir.
semoga artikel saya kali ini bermanfaat bagi kalian semua dan mempermudah kalian dalam mengerjakan tugas yang berhubungan dengan TURUNAN FUNGSI (LEBIH DARI 1 VARIABEL BEBAS) . selamat berjuang.