Kita langsung mulai dari yang pertama yaitu pembahasan tentang Turunan Fungsi (diferensial).
Turunan Fungsi (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f1 yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan (deferensial) digunakan sebagai alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.
Konsep turunan fungsi secara universal banyak sekali digunakan dalam bidang ekonomi untuk menghitung biaya marjinal, biaya total atau total penerimaan, dalam bidang biologi untuk menghitung laju pertumbuhan organisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia untuk menghitung laju pemisahan, dalam bidang geografi dan sosiologi untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.
1. The Difference Quotient
Fungsi (a primitive function) : y = f (x)
Kemudian, nilai fungsi atau dependent variable y berubah dari y0 = f (x0) ke y1 = f (x1), karena nilai independent variable x berubah dari x0 ke x1.
Maka timbul : Δy/Δx
yaitu perubahan pada varabel y karena perubahan per unit atau 1 unit pada variabel x (the change in y per unit of change in x), yang dinyatakan dengan istilah the difference quotient :
Artinya, secara rata-rata, perubahan x dari 3 ke 7 menyebabkan perubahan pada fungsi atau y sebesar 30 unit untuk setiap unit perubahan x atau per unit perubahan x.
2. The Derivative
Derivatif (the derivative) menyatakan tingkat perubahan nilai fungsi atau dependent variable y untuk perubahan independent variable x sekecilkecilnya mendekati 0 (nol) atau Δx → 0, yaitu :
Apabila, perubahan x mendekati 0 atau Δx → 0, limit dari the difference quotient terjadi (exist) atau mendekat nilai fungsi pada x0, maka limit itu disebut derivative (the derviative).
If, as Δx approaches zero or Δx → 0, the limit of the difference quotient Δy/Δx indeed exists, that limit is called the derivative of the function y = f (x).
Contoh :
Penjelasan :
⧫ The derivative terjadi (exist) apabila y = f (x) merupakan fungsi yang kontinyu (continuous) pada nilai variabel x sebesar x0. Jadi differentiable berarti kontinyu, sebaliknya tidak berlaku. Atau suatu fungsi yang differentiable pada titik x = x0, apabila fungsi mempunyai derivatif dan berarti kontinyu pada titik itu.
A function which is differentiable at every point in its domain, it must be continuous in its domain. That is, differentiability implies continuity. Yet, the converse is not true.
⧫ Derivatif (derivative) adalah turunan atau perubahan dari dependent variable (fungsi) karena perubahan (sekecil apapun) dari setiap independent variable. Seperti terlihat pada Diagram di atas, derivatif adalah the slope dari fungsi y = f (x) pada setiap titik x.
Istilah derivative mempunyai sama arti dengan istilah differentiation atau derivation.
Turunan atau perubahan dependent variable dimaksud mempunyai order : kesatu (the first derivative), kedua (the second derivative), dan seterusnya.
A derivative of the function y = f(x) is the limit of Δy/Δx for every small changes in x, and it is denoted as dy/dx or f′(x), etc.
The term of derivative is the same as derivation or differentiation. There are the first derivative, the second derivative, and further order derivatives on.
⧫ Notasi derivatif :
⧫ The derivative juga merupakan suatu fungsi atau fungsi turunan (a derived function) dari fungsi asal (a primitive function) seperti di atas yaitu y = f (x).
Setelah kita membahasa tentang definisi dan ketentuan Differential dan Derivative sekarang kita akan lanjut ke pembahasan berikutnya yaitu Kaidah-kaidah turunan serta contohnya.
Didalam kaidah-kaidah turunan ada beberapa macam, contohnya :
1. Turunan Fungsi Konstan
2. Turunan Fungsi Identitas
3. Turunan Fungsi Pangkat
4. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi
5. Turunan Hasil Kali Fungsi-Fungsi
6. Turunan Hasil Bagi Fungsi-Fungsi
Sebelum kita mempelajari pembahasan tentang kaidah-kaidah turunan fungsi, mari kita ingat kembali konsep turunan menggunakan limit fungsi berikut ini.
Jika diketahui fungsi f(x), maka turunan fungsi f(x) pada x adalah:
apakah kalian sudah ingat ? Jika sudah, mari kita simak penjelasan berikut.
1. Turunan Fungsi Konstan
Fungsi konstan adalah fungsi dengan bentuk f(x) = n dengan n = bilangan real. Turunan fungsi konstan menggunakan limit fungsi adalah sebagai berikut.
Jadi, turunan fungsi yang berbentuk nilai konstan adalah 0.
Jika diketahui f(x) = n, dengan n bilangan real, maka f '(x) = 0
2. Turunan Fungsi Identitas
Fungsi identitas adalah fungsi dengan bentuk f(x) = x. Turunan fungsi identitas menggunakan limit fungsi adalah sebagai berikut.
Jadi, turunan fungsi identitas adalah 1.
Jika diketahui f(x) adalah sebuah fungsi identitas atau f(x) = x, maka f '(x) = 1
3. Turunan Fungsi Pangkat
Misalkan diketahui fungsi pangkat dengan bentuk f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif. Untuk menentukan rumus umumnya, kita dapat mencari pola dari hasil yang diperoleh melalui tabel berikut.
Sekarang, kita tentukan dahulu turunan fungsi untuk n = 2.
Kita masukkan hasilnya ke dalam tabel berikut ini.
Coba kalian perhatikan tabel di atas. Dari tabel tersebut, dapat terlihat pola yang terbentuk sehingga diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Turunan untuk fungsi f(x) = xn adalah f '(x) = nxn-1 dan turunan untuk fungsi f(x) = mxn adalah f '(x) = mnxn-1.
Agar kalian lebih memahami penggunaan aturan turunan fungsi di atas, mari kita perhatikan contoh berikut.
Penyelesaian :
4. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi
Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x) ± v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u ‘(x) dan turunan dari v(x) adalah v ’(x), maka turunan dari f(x) adalah :
f '(x) = u '(x) ± v '(x)
Agar kalian lebih paham penggunaan aturan turunan fungsi aljabar di atas,
mari perhatikan contoh berikut.
5. Turunan Hasil Kali Fungsi-Fungsi
Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x).v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u ‘(x) dan turunan dariv(x) adalah v ’(x), maka turunan dari f(x) adalah :
f '(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x)
Agar kalian lebih paham penggunaan aturan turunan fungsi aljabar di atas,
mari perhatikan contoh berikut.
Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x)/v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u ‘(x) dan turunan dariv(x) adalah v ’(x),
maka turunan dari f(x) adalah:
Agar kalian lebih paham penggunaan aturan turunan fungsi aljabar di atas,
mari perhatikan contoh berikut.
baiklah kawan-kawan seperti yang kalian ketahuan pembahasan tentang turunan hasil bagi fungsi-fungsi adalah pembahasan kita yang terakhir.
semoga artikel saya kali ini bermanfaat bagi kalian semua dan mempermudah kalian dalam mengerjakan tugas yang berhubungan dengan turunan fungsi. selamat berjuang.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar