CARA MEMAHAMI TURUNAN FUNGSI (LEBIH DARI 1 VARIABEL BEBAS) MATEMATIKA

Hallo sahabat pembaca semua.

Selamat datang di blog saya.

Artikel blog saya kali ini akan membahasa tentang Turunan Fungsi (lebih dari 1 variabel bebas). Turunan Fungsi (lebih dari 1 variabel bebas) dibagi menjadi tiga jenis, Misalnya :
1. Partial Derivatives
2. Differentials Total
3. Derivatives Total
untuk memudahkan kalian saya juga akan memberikan contoh soal serta gambar kurva dari masing-masing jenis turunan fungsi (lebih dari 1 variabel bebas).

Turunan Fungsi (lebih dari 1 variabel bebas) ditulis :

Y = F(X)

Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit.
Jika fungsidua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka penulisannya secara umum dinyatakan dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk implisit, maka penulisannya dinyatakan dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

Contoh :

Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua fungsi dalam bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.

Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z, sehingga pada sumbu tersebut membentuk ruang dan masing-masing ruang disebut oktan.
Oktan I adalah ruang dengan x>0, y>, dan z>0
Oktan II adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z>0
Oktan III adalah ruang denganx<0, y<0, dan z>0
Oktan IV adalah ruang dengan x<0, y>0, dan z>0
Oktan V adalah ruang dengan x>0, y>, dan z<0
Oktan VI adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z<0
Oktan VII adalah ruang denganx<0, y<0, dan z<0
Oktan VIII adalah ruang dengan x<0,y>0, dan z<0
Berdasarkan oktan-oktan tersebut, dapat digambarkan sebarang titik  P(x₁,y₁,z₁) atau kurva ruang dengan persamaan z =F(x,y).


perhatikan gambar berikut.

Pada gambar1 di atas P(x₁,y₁,z₁) adalah sebarang titik pada oktan I, dengan menggunakan kaidah dan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang OP sebagai 

 

   

Dengan cara yang sama, jika P(x₁,y₁,z₁) dan Q(x₂,y₂,z₂) maka panjang PQ dinyatakan dengan PQ = 

1. Turunan Parsial Fungsi Dua atau Lebih

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:
1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah.
3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus. 
 
Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Definisi 
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

 

 











Contoh :

Tentukan turunan parsial pertama dari 

 

  

Jawab 

2. Differensial Total
Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turunan parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan

dari (1) dan (2) diperoleh :

Jumlah diferensialnya diperoleh: 

Bentuk di atas disebut diferensial total.
Dengan demikian jika z = F(x,y), maka diferencial totalnya adalah

Analog
Jika W = F(x,y,z) maka turunan parsialnya adalah 

Contoh.

1. Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah

Jawab
Langkah pertama yang harus ditetapkan fungsinya, dalam hal

Pilih x = 2, y = 2 dan z = 1 sehingga

dengan menggunakan definisi diferensial total W = F(x,y,z) maka

Akhirnya diperoleh

 

c) Suatu tempat berbentuk kotak dengan dimensi 2,02 m, 1,97 m, dan 0,99 m. Dengan menggunakan differensial tentukan panjang diagonal ruang kotak tersebut.

 3. Derivatives Total

Misal z = F(x,y) dan F dapat diturunkan (differensiable), dan misalkan x = x(t) dan y = y(t), x dan y juga fungsi-fungsi yang dapat diturunkan dengan satu peubah, Maka z = F(x,y) adalah fungsi satu peubah, sehingga:

 karena x =x(t) dan y=y(t) dapat diturunkan maka dapat ditentukan  

Sehinggga  

Bentuk di atas dinamakan turunan total z = F(x,y) dengan x = x(t) dan y = y(t).
 

Catatan

Pengertian ganda z, x, dan y pada

 

Andaikan z = F(x,y) adalah fungsi yang dapat diturunkan, dan misalkan x = x(r,s) dan y = y(r,s) adalah fungsi dua peubah dan dapat diturunkan, maka diferencial totalnya adalah

Karena x = x(r,s) dan y = y(r,s) dan dapat diturunkan, maka dapat ditentukan

Sehingga turunan total z = F(x,y) dengan x = x(r,s), dan y = y(r,s) adalah

Contoh

Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan jari-jarinya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.

Jawab.

Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka

  






Dengan definisi turunan total
I = I(r,h) dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh 

baiklah sabahat semua seperti yang kalian ketahuan pembahasan tentang Derivatives Total adalah pembahasan kita yang terakhir.
semoga artikel saya kali ini bermanfaat bagi kalian semua dan mempermudah kalian dalam mengerjakan tugas yang berhubungan dengan TURUNAN FUNGSI (LEBIH DARI 1 VARIABEL BEBAS) . selamat berjuang.

TURUNAN FUNGSI

Halo kawan-kawan semua, diartikel saya kali ini saya akan membahas lebih dalam tentang turunan fungsi dan saya juga akan menjabarkan definisi dan ketentuan Differential dan Derivative serta saya juga akan membahas kaidah-kaidah turunan lengkap dengan contohnya.

Kita langsung mulai dari yang pertama yaitu pembahasan tentang Turunan Fungsi (diferensial).
Turunan Fungsi (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f1 yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan (deferensial) digunakan sebagai alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Konsep turunan fungsi secara universal banyak sekali digunakan dalam bidang ekonomi untuk menghitung biaya marjinal, biaya total atau total penerimaan, dalam bidang biologi untuk menghitung laju pertumbuhan organisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia untuk menghitung laju pemisahan, dalam bidang geografi dan sosiologi untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.


1. The Difference Quotient

Fungsi (a primitive function) : y = f (x)
Kemudian, nilai fungsi atau dependent variable y berubah dari y0 = f (x0) ke y1 = f (x1), karena nilai independent variable x berubah dari x0 ke x1.
Maka timbul : Δy/Δx
yaitu perubahan pada varabel y karena perubahan per unit atau 1 unit pada variabel x (the change in y per unit of change in x), yang dinyatakan dengan istilah the difference quotient :

Artinya, secara rata-rata, perubahan x dari 3 ke 7 menyebabkan perubahan pada fungsi atau y sebesar 30 unit untuk setiap unit perubahan x atau per unit perubahan x.


2. The Derivative

Derivatif (the derivative) menyatakan tingkat perubahan nilai fungsi atau dependent variable y untuk perubahan independent variable x sekecilkecilnya mendekati 0 (nol) atau Δx → 0, yaitu :

Dibaca :
Apabila, perubahan x mendekati 0 atau Δx → 0, limit dari the difference quotient terjadi (exist) atau mendekat nilai fungsi pada x0, maka limit itu disebut derivative (the derviative).

If, as Δx approaches zero or Δx → 0, the limit of the difference quotient Δy/Δx indeed exists, that limit is called the derivative of the function y = f (x).

Contoh :

 Penjelasan :

⧫ The derivative terjadi (exist) apabila y = f (x) merupakan fungsi yang kontinyu (continuous) pada nilai variabel x sebesar x0. Jadi differentiable berarti kontinyu, sebaliknya tidak berlaku. Atau suatu fungsi yang differentiable pada titik x = x0, apabila fungsi mempunyai derivatif dan berarti kontinyu pada titik itu.

A function which is differentiable at every point in its domain, it must be continuous in its domain. That is, differentiability implies continuity. Yet, the converse is not true.

⧫ Derivatif (derivative) adalah turunan atau perubahan dari dependent variable (fungsi) karena perubahan (sekecil apapun) dari setiap independent variable. Seperti terlihat pada Diagram di atas, derivatif adalah the slope dari fungsi y = f (x) pada setiap titik x.

Istilah derivative mempunyai sama arti dengan istilah differentiation atau derivation.
Turunan atau perubahan dependent variable dimaksud mempunyai order : kesatu (the first derivative), kedua (the second derivative), dan seterusnya.

A derivative of the function y = f(x) is the limit of Δy/Δx for every small changes in x, and it is denoted as dy/dx or f′(x), etc.
The term of derivative is the same as derivation or differentiation. There are the first derivative, the second derivative, and further order derivatives on.

⧫ Notasi derivatif :

⧫ The derivative juga merupakan suatu fungsi atau fungsi turunan (a derived function) dari fungsi asal (a primitive function) seperti di atas yaitu y = f (x).

Setelah kita membahasa tentang definisi dan ketentuan Differential dan Derivative sekarang kita akan lanjut ke pembahasan berikutnya yaitu Kaidah-kaidah turunan serta contohnya.

Didalam kaidah-kaidah turunan ada beberapa macam, contohnya :
1. Turunan Fungsi Konstan
2. Turunan Fungsi Identitas
3. Turunan Fungsi Pangkat
4. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi
5. Turunan Hasil Kali Fungsi-Fungsi
6. Turunan Hasil Bagi Fungsi-Fungsi

Sebelum kita mempelajari pembahasan tentang kaidah-kaidah turunan fungsi, mari kita ingat kembali konsep turunan menggunakan limit fungsi berikut ini.
Jika diketahui fungsi f(x), maka turunan fungsi f(x) pada x adalah:

apakah kalian sudah ingat ? Jika sudah, mari kita simak penjelasan berikut.

1. Turunan Fungsi Konstan
 Fungsi konstan adalah fungsi dengan bentuk f(x) = n dengan n = bilangan real. Turunan fungsi konstan menggunakan limit fungsi adalah sebagai berikut.

Jadi, turunan fungsi yang berbentuk nilai konstan adalah 0.
Jika diketahui f(x) = n, dengan n bilangan real, maka f '(x) = 0

2. Turunan Fungsi Identitas
Fungsi identitas adalah fungsi dengan bentuk f(x) = x. Turunan fungsi identitas menggunakan limit fungsi adalah sebagai berikut.

Jadi, turunan fungsi identitas adalah 1.
Jika diketahui f(x) adalah sebuah fungsi identitas atau f(x) = x, maka f '(x) = 1

3. Turunan Fungsi Pangkat
Misalkan diketahui fungsi pangkat dengan bentuk f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif. Untuk menentukan rumus umumnya, kita dapat mencari pola dari hasil yang diperoleh melalui tabel berikut.









Sekarang, kita tentukan dahulu turunan fungsi untuk n = 2.

Kita masukkan hasilnya ke dalam tabel berikut ini.



Coba kalian perhatikan tabel di atas. Dari tabel tersebut, dapat terlihat pola yang terbentuk sehingga diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Turunan untuk fungsi f(x) = xn adalah f '(x) = nxn-1 dan turunan untuk fungsi f(x) = mxn adalah f '(x) = mnxn-1.
Agar kalian lebih memahami penggunaan aturan turunan fungsi di atas, mari kita perhatikan contoh berikut.

Tentukan f '(x) dari fungsi berikut.






Penyelesaian :








4. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi
Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x) ± v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u ‘(x) dan turunan dari v(x) adalah v ’(x), maka turunan dari f(x) adalah :

 f '(x) = u '(x) ± v '(x)

Agar kalian lebih paham penggunaan aturan turunan fungsi aljabar di atas,
mari perhatikan contoh berikut.

5. Turunan Hasil Kali Fungsi-Fungsi
Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x).v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u ‘(x) dan turunan dariv(x) adalah v ’(x), maka turunan dari f(x) adalah :

f '(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x)

Agar kalian lebih paham penggunaan aturan turunan fungsi aljabar di atas,
mari perhatikan contoh berikut.

6. Turunan Hasil Bagi Fungsi-Fungsi
Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x)/v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u ‘(x) dan turunan dariv(x) adalah v ’(x),
maka turunan dari f(x) adalah:

Agar kalian lebih paham penggunaan aturan turunan fungsi aljabar di atas,
mari perhatikan contoh berikut.

baiklah kawan-kawan seperti yang kalian ketahuan pembahasan tentang turunan hasil  bagi fungsi-fungsi adalah pembahasan kita yang terakhir.
semoga artikel saya kali ini bermanfaat bagi kalian semua dan mempermudah kalian dalam mengerjakan tugas yang berhubungan dengan turunan fungsi. selamat berjuang.